直方图均衡化

直方图处理

一副数字影像的直方图是一个离散函数$h(r_k)=n_k$，其中$r_k$是第$k$个灰阶而$n_k$是影像中带有灰阶$r_k$的像素个数。一个正规化的直方图中$p(r_k)=n_k/n$，其中$n$为总的像素个数，也就是说$p(r_k)$代表灰阶$r_k$出现的概率，加起来等于1。
如果直方图的分布不均匀，高峰处集中在低区域说明图像整体较暗，集中在高区域说明图像整体亮，如果集中在中间较窄的区域，则图像的对比度较低。
可以使用直方图的相似性来比较图像是否相似。

直方图均衡化

将一个直方图不均匀的图像的直方图调整均匀，使图像效果更好
令$r$是图像某个像素的灰度，已被正则化到$[0,1]$，寻找一个$T(r)$将$r$从$[0,1]$映射到$[0,1]$（将每个像素按照灰度值变换到另一个灰度值），且$T(r)$单调递增（可逆），使输出图像的灰阶更加均匀

使用源图像的概率密度函数（直方图）的分布函数定义$T(r)$（分布函数还能这么用~）

$$s = T(r) = \int_o^r p_r(w)dw$$

无论$p_r(r)$的形式如何，所得的$p_s(s)$永远是均匀的

离散形式
对于离散的直方图，其离散形式为

$$s_k = T(r_k)=\sum_{j=0}^kp_r(r_j)=\sum_{j=0}^k\frac{n_j}{n}$$

虽然离散变换不能产生均匀的直方图，但是可以解决对比度较低的问题

代码实现

计算灰度对应的灰阶

//k：划分的灰阶的总阶数
inline unsigned int calulate_r(float gray, unsigned int k){
    unsigned int scope = floor(gray * (float)k);
    scope = (scope >= (k - 1)) ? (k - 1) : scope;
    return scope;
}

定义灰度图的直方图

//灰度图像的直方图
class GrayImageHist{
public:
    unsigned int k;//总阶数
    std::vector<float> r;//每一阶的概率密度函数

    GrayImageHist(unsigned int k, std::vector<float>&& r)
    :k(k), r(r)
    {
        assert(k == r.size());
    }
}

从灰度图像生成直方图

static GrayImageHist from_gray_image(unsigned int width, unsigned int height, const std::vector<float> framebuffer, unsigned int k){
    std::vector<float> r(k);
    std::vector<unsigned int> sum(k, 0);
    for(float p : framebuffer){
        sum[calulate_r(p, k)]++;
    }
    float pixel_count_inv = 1.0f / (float)(width * height);
    for(unsigned int i = 0;i < k;i++){
        r[i] = sum[i] * pixel_count_inv;
    }
    return GrayImageHist(k, std::move(r));
}

计算直方图的累计分布函数，得到均衡后的直方图

static GrayImageHist equalize_hist(const GrayImageHist& origin){
    unsigned int k = origin.k;
    //计算累加分布
    std::vector<float> sum_r(k, 0);
    sum_r[0] = origin.r[0];
    for(unsigned int i = 1;i < k;i++){
        sum_r[i] = sum_r[i - 1] + origin.r[i];
    }
    return GrayImageHist(k, std::move(sum_r));
}

将均衡后的直方图的每个灰阶的概率密度从$[0,1]$映射到$[0, k - 1]$，方便对原图进行转化

const unsigned int k = 255;//阶数
//取整拓展，对equalized_hist中的概率离散化
std::vector<unsigned int> sum_r(k, 0);
for(unsigned int i = 0;i < equalized_hist.k;i++){
    sum_r[i] = lroundf(equalized_hist.r[i] * (k - 1));    
}

转化原图，将转化得到的灰度写入新图像

std::vector<Vector3f> image(width * height);//结果图像
//计算每一个灰阶对应的灰度
std::vector<float> gray_map(k);
for(unsigned int i = 0;i < k;i++){
    gray_map[i] = (i + 0.5) / (float)k;
}
        
//对源图像灰度进行映射
for(unsigned int i = 0;i < width * height;i++){
    float origin = gray_image[i];
    unsigned int scope = sum_r[calulate_r(origin, k)];
    float target = gray_map[scope];
    image[i] = {target, target, target};
}

k值的选取决定了结果图像由几种不同的灰度（颜色）构成，如果设置太低，结果图像的灰阶就会很低。

结果展示

图像压缩过
原图

结果